question_answer

If \[A=\left[ \begin{matrix}    x & 0  \\    1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\] and \[B=\left[ \begin{matrix}    1 & 0  \\    5 & 1  \\ \end{matrix} \right],\] then find the value of x for which \[{{A}^{2}}=B.\]

Answer:

We have, \[A=\left[ \begin{matrix}    x & 0  \\    1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\]and \[B=\left[ \begin{matrix}    1 & 0  \\    5 & 1  \\ \end{matrix} \right]\] Now, \[{{A}^{2}}=\left[ \begin{matrix}    x & 0  \\    1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\,\,\left[ \begin{matrix}    x & 0  \\    1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\] \[=\left[ \begin{matrix}    {{x}^{2}}+0 & 0+0  \\    x+1 & 0+1  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}    {{x}^{2}} & 0  \\    x+1 & 1  \\ \end{matrix} \right]\] As,        \[{{A}^{2}}=B\]                                             [given] \[\left[ \begin{matrix}    {{x}^{2}} & 0  \\    x+1 & 1  \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}    1 & 0  \\    5 & 1  \\ \end{matrix} \right]\] On equating both sides, we get \[{{x}^{2}}=1\Rightarrow x=\pm \,\,1\]and \[x+1=5\Rightarrow x=4\] As, there is no unique value of x. Thus, no value of x exists.