question_answer

If \[A=\left[ \begin{matrix}    0 & -\tan \alpha /2  \\    \tan \alpha /2 & 0  \\ \end{matrix} \right]\] and I is the identity matrix of order 2, show that \[I+A=(I-A)\left[ \begin{matrix}    \cos \alpha  & -\sin \alpha   \\    \sin \alpha  & \cos \alpha   \\ \end{matrix} \right].\]

Answer:

LHS \[=\text{ }I\text{ }+\text{ }A\] RHS \[=(I\,-A)\left[ \begin{matrix}    \cos \alpha  & -\sin \alpha   \\    \sin \alpha  & \cos \alpha   \\ \end{matrix} \right]\] \[=\left[ \begin{matrix}    1-0 & 0+\tan \alpha /2  \\    -\tan \alpha /2 & 1-0  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}    \cos \alpha  & -\sin \alpha   \\    \sin \alpha  & \cos \alpha   \\ \end{matrix} \right]\] \[=\left[ \begin{matrix}    1 & \tan \alpha /2  \\    -\tan \alpha /2 & 1  \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}    \cos \alpha  & -\sin \alpha   \\    \sin \alpha  & \cos \alpha   \\ \end{matrix} \right]\] \[=\left[ \begin{matrix}    \cos \alpha +\tan \frac{\alpha }{2}\sin \alpha  & -sin\alpha +\tan \frac{\alpha }{2}\cos \alpha   \\    -\tan \frac{\alpha }{2}\cos \alpha +\sin \alpha  & \tan \frac{\alpha }{2}\sin \alpha +\cos \alpha   \\ \end{matrix} \right]\]    [multiplying rows by columns] \[\left[ \begin{align}  & \because \,\,\,\cos (A-B)=cosA\,cosB+sinA\,sinB \\  & and\,\,sin(A-B)=sinA\,cosB\,-\cos A\,\sin B \\ \end{align} \right]\] = LHS                                     Hence proved.