question_answer

ABCD is a parallelogram Fig. 2(c).54. AC and BD are its diagonals. Show that                 (a) \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=\,2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,\]                                   (b) \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,\,\,-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=\,2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,\]

Answer:

                (a) Refer to Fig. 2(c).54, using triangle law of vectors, we have,     \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=(\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,)+(\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{CD}}\,)=\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,+2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{CD}}\,\] \[=\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,+2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,\] or \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,\] (b) \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=(\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,)-(\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BC}}\,+\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{CD}}\,)=\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{CD}}\,\] \[\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AC}}\,-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{BD}}\,=\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,-(-\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,)=2\overset{\xrightarrow[{}]{{}}}{\mathop{AB}}\,\]